六面体要素のメトリクス

CUBITでHex要素に使用される品質指標を、次の表にまとめます：

関数名
寸法
全範囲
許容範囲
参考文献
アスペクト比
L^0
1 to inf
1 to 4
1
Skew
L^0
0 to 1
0 to 0.5
1
Taper
L^0
0 to +inf
0 to 0.4
1
Stretch
L^0
0 to 1
0.25 to 1
2
対角線比
L^0
0 to 1
0.65 to 1
3
寸法
L^1
0 to inf
None
1
条件数
L^0
1 to inf
1 to 8
5
Mass Increase Ratio
L^0
1 to inf
None
 
ノード間距離
L^1
-inf to inf
None
 
Scaled Jacobian
L^0
-1 to +1
0.5 to 1
5
Shear
L^0
0 to 1
0.3 to 1
5
Shape
L^0
0 to 1
0.3 to 1
5
相対サイズ
L^0
0 to 1
0.5 to 1
5
Shear & Size
L^0
0 to 1
0.2 to 1
5
Shape & Size
L^0
0 to 1
0.2 to 1
5
時間刻み
秒
0 to inf
None
6
高次要素の指標        
Distortion
L^0
0 to 1
0.6 to 1
7
要素体積
L^3
-inf to inf
None
1
Jacobian
L^3
-inf to inf
None
5

Hex要素の品質指標の定義

以下に示す一部の例外を除き、Cubitの品質指標計算は線形Hex要素のみを対象とします。線形要素だけに対応する品質指標を高次Hex要素に対して計算する場合、Cubitはその要素のコーナーノードだけを使用します。

アスペクト比：Hex中心におけるエッジ長比の最大値です。

Skew：Hex中心でエッジ間の角度をAとしたときの最大 |cos A| です。

Taper：対向するエッジから得られる長さの比の最大値です。

Stretch：Sqrt(3) * 最小エッジ長 / 最大対角線長です。

対角線比：最小対角線長 / 最大対角線長です。

寸法：安定時間刻み計算に用いるPronto固有の特性長です。Char_length = Volume / 2 grad Volume。

条件数。8個のコーナーにおけるヤコビアン行列の条件数の最大値です。

Mass Increase Ratio：この指標は、全体の目標時間刻みと要素時間刻みから求めます。目標時間刻みを満たすために必要な密度（マススケーリングによる）をブロック密度で除した値を Mass Increase Ratio と呼びます。各要素内の密度は一定なので、要素密度の比は要素質量の比と等価です。この指標は、指定された目標時間刻みを各要素が満たすために必要な密度を計算します。その密度が定義済み密度より大きい場合、指標値は1を超えます。目的の全体時間刻みは、次のコマンドで設定します：

[Set] Target Timestep <value>

前述のとおり、この指標は要素単位の時間刻み指標を計算します。そのため、要素ブロックにはヤング率とポアソン比の材料特性を定義し、さらに目標時間刻みを設定する必要があります。

この指標をブロックに対して計算した場合（'quality block 1 mass increase ratio'）、ブロックごとの質量増加量も併せて出力されます。

ノード間距離：隣接する任意の2つのコーナーノード間の最小距離です。

Scaled Jacobian：線形要素では、最小ヤコビアンを3本のエッジベクトル長で除した値です。

Shear：ヤコビアン・スキュー行列の Mean Ratio の3倍。

Shape：重み付きヤコビアン行列の Mean Ratio の3倍。

相対サイズ：Min(J, 1/J)。ここでJは重み付きヤコビアン行列の行列式です。

Shear & Size：Shear指標とSize指標の積です。

Shape & Size：Shape指標とSize指標の積です。

時間刻み：陽解法による過渡動解析で、この要素に使用できる最大時間刻みの近似値です。この臨界時間刻みは、要素形状と材料特性の両方に依存します。Hexでこの指標を計算するには、Hexが材料を関連付けた要素ブロックに含まれ、その材料にポアソン比、弾性係数、密度が定義されている必要があります。

高次要素

ここまでの指標は、Hex要素の8個のコーナーノードだけに基づいて品質を評価します。次の指標では、中間ノードも考慮します。

Distortion：{min(|J|)/実体積}*親要素体積。Hexでは親要素体積 = 8 です。Cubitはhex20要素のDistortion計算にも対応しています。

要素体積：線形HexではHex中心のヤコビアンです。高次HexではHexを複数のサブTetに分割し、それらの体積を合計します。

Jacobian：Hexの8個のコーナーと中心における局所写像の点ごとの体積の最小値です。Cubitはhex27要素のヤコビアン計算にも対応しています。

Hex要素の品質指標に関する参考文献

  1. (Taylor, 89)
  2. FIMESHコード
  3. 不明
  4. (Knupp, 00)
  5. P. Knupp, Algebraic Mesh Quality Metrics for Unstructured

    Initial Meshes, to appear in Finite Elements for Design

    および解析。
  6. Flanagan, D.P. and Belytschko, T., 1984, “Eigenvalues and Stable Time Steps for the Uniform Hexahedron and Quadrilateral,” Journal of Applied Mechanics, Vol. 51, pp.35-40.
  7. SDRC/IDEAS Simulation: Finite Element Modeling - User's Guide