四辺形要素のメトリクス
CUBITで四辺形要素に使用される品質指標を、次の表にまとめます：
関数名
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寸法
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全範囲
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許容範囲
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参考文献
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アスペクト比
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L^0
|
1 to inf
|
1 to 4
|
1
|
Skew
|
L^0
|
0 to 1
|
0 to 0.5
|
1
|
Taper
|
L^0
|
0 to +inf
|
0 to 0.7
|
1
|
| Warpage |
L^0
|
0 to 1
|
0.9 to 1.0
|
NEW
|
Stretch
|
L^0
|
0 to 1
|
0.25 to 1
|
2
|
最小角度
|
度
|
0 to 90
|
45 to 90
|
3
|
最大角度
|
度
|
90 to 360
|
90 to 135
|
3
|
条件数
|
L^0
|
1 to inf
|
1 to 4
|
4
|
偏差
|
L^2
|
0 to inf
|
None
|
|
Jacobian
|
L^2
|
-inf to inf
|
None
|
4
|
Scaled Jacobian
|
L^0
|
-1 to +1
|
0.5 to 1
|
4
|
Shear
|
L^0
|
0 to 1
|
0.3 to 1
|
5
|
Shape
|
L^0
|
0 to 1
|
0.3 to 1
|
5
|
相対サイズ
|
L^0
|
0 to 1
|
0.3 to 1
|
5
|
Shear & Size
|
L^0
|
0 to 1
|
0.2 to 1
|
5
|
Shape & Size
|
L^0
|
0 to 1
|
0.2 to 1
|
5
|
| 高次要素の指標 | ||||
Distortion
|
L^2
|
-1 to 1
|
0.6 to 1
|
6
|
要素面積
|
L^2
|
-inf to inf
|
None
|
1
|
四辺形品質指標の定義
アスペクト比：四辺形中心におけるエッジ長比の最大値です。
Skew：四辺形中心でエッジ間の角度をAとしたときの最大 |cos A| です。
Taper：対向するエッジから得られる長さの比の最大値です。
Warpage：対角線で交差する平面が形成する最小二面角の余弦です。
要素面積：四辺形中心のヤコビアンです。
Stretch：Sqrt(2) * 最小エッジ長 / 最大対角線長です。
最小角度：四辺形の最小内角（度）です。
最大角度：四辺形の最大内角（度）です。
条件数。4つのコーナーにおけるヤコビアン行列の条件数の最大値です。
Jacobian：四辺形の4つのコーナーと中心における局所写像の点ごとの体積の最小値です。
Scaled Jacobian：線形要素では、最小ヤコビアンを2本のエッジベクトル長で除した値です。
Shear：Jacobian Skew行列の条件数の2倍の逆数です。
Shape：重み付きヤコビアン行列の条件数の2倍の逆数です。
相対サイズ：Min(J, 1/J)。ここでJは重み付きヤコビアン行列の行列式です。
Shear and Size：Shear と Relative Size の積です。
Shape and Size：Shape と Relative Size の積です。
Distortion: {min(|J|)/actual area}*parent area, parent area = 4 for quad
偏差：四辺形の重心から対応するサーフェスまでの絶対距離です。
代数的品質指標に関する補足
Shape、Relative Size、Shape & Size、Shear は四辺形要素に適用される代数的品質指標です。これらには良好な性質があるため、Cubitでは使用を推奨しています（下記参考文献5）。指標は正方形の四辺形要素を基準とし、正方形からのずれをさまざまな方法で評価します。
Shape は、要素のskewとアスペクト比が参照要素からどの程度ずれているかを評価します。
Relative Size は、参照要素に対する要素サイズを評価します。要素が参照要素の2倍または1/2のサイズなら、Relative Size は1/2です。Relative Size 指標の参照要素は正方形で、その面積は評価対象サーフェスメッシュ上の全四辺形の平均面積から決定されます。
Shape and Size 指標は、要素の形状と相対サイズの両方が参照要素からどの程度ずれているかを評価します。
SHEAR指標はskew行列の条件数に基づきます。SHEARは本質的には代数的なskew指標ですが、四辺形品質指標の一覧ですでにskewという語を使用しているため、Cubitでは 'shear' という名称を採用しています。
四辺形が長方形である場合、かつその場合に限り Shear = 1 です。
Robinsonの 'skew' 指標は、四辺形が長方形の場合に理想値（0）になります。また、台形、凧形、さらには三角形状の場合にも理想値になり得ます。
四辺形品質指標に関する参考文献
- (Robinson, 87)
- FIMESHコード。
- 不明。
- (Knupp, 00)
- P. Knupp, Algebraic Mesh Quality Metrics for Unstructured Initial Meshes, submitted for publication.
- 6. SDRC/IDEAS Simulation: Finite Element Modeling--User's Guide
四辺形のRobinson指標の詳細
計算される四辺形要素の品質指標は、aspect ratio、skew、taper、element area、stretchです。計算は、次に記載された指標に基づきます： (Robinson, 87)。形状パラメータを下の図1に示します。Stretch指標は、最短の要素エッジ長を最長の要素対角線長で除して計算します。
図1. 四辺形の形状パラメータ（品質指標）の説明図