四面体要素のメトリクス
CUBITで四面体要素に使用される品質指標を、次の表にまとめます：
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関数名
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寸法
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全範囲
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許容範囲
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参考文献
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Aspect Ratio Beta
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L^0
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1 to inf
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1 to 3
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1
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Aspect Ratio Gamma
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L^0
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1 to inf
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1 to 3
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1
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| 条件数 |
L^0
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1 to inf
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1 to 3
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2
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ノード間距離
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L^1
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-inf to inf
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None
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Scaled Jacobian
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L^0
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-1 to 1
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0.2 to 1
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2
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Shape
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L^0
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0 to 1
|
0.2 to 1
|
3
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相対サイズ
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L^0
|
0 to 1
|
0.2 to 1
|
3 |
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Shape and Size
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L^0
|
0 to 1
|
0.2 to 1
|
3
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| 高次要素の指標 | ||||
| Distortion |
L^0
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-1 to 1
|
0.6 to 1
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要素体積
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L^3
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-inf to inf
|
None
|
1
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内接球半径
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L^1
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-inf to inf
|
None
|
None
|
|
Jacobian
|
L^3
|
-inf to inf
|
None
|
2
|
|
Scaled Jacobian
|
L^3
|
-1 to 1
|
0.2 to 1
|
|
| Normalized Inradius |
L^0
|
-1 to 1
|
0.15 to 1
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| Mean Ratio |
L^0
|
0 to 1
|
0.2 to 1
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| Mass Increase Ratio |
L^0
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1 to inf
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None
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時間刻み
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秒
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0 to inf
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None
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4
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四面体品質指標の定義
以下に示す一部の例外を除き、Cubitの品質指標計算は線形四面体要素のみを対象とします。線形要素だけに対応する品質指標を高次四面体要素に対して計算する場合、Cubitはその要素のコーナーノードだけを使用します。
Aspect Ratio Beta：CR / (3.0 * IR)。ここで CR = 外接球半径、IR = 内接球半径です。
Aspect Ratio Gamma：Srms**3 / (8.479670*V)。ここで Srms = sqrt(Sum(Si**2)/6)、Si = エッジ長です。
条件数：任意のコーナーにおけるヤコビアン行列の条件数です。
内接球半径：tetra10以外のTetでは、線形Tetに完全に内包される最小球の半径です。tetra10では、中間エッジノードを使用してTetを12個の線形サブTetに分割します。Inradius は、その12個の線形サブTetの最小内接球半径 * 2.3 です。
Jacobian：任意のコーナーにおける点ごとの体積の最小値です。Cubitはtetra15およびtetra10要素のヤコビアン計算にも対応しています。
tetra15またはtetra10要素では、ヤコビアン計算に15個または10個の全ノードを使用します。その他のTetタイプでは、コーナーノードだけを考慮します。
ノード間距離：隣接する任意の2つのコーナーノード間の最小距離です。
Scaled Jacobian：線形要素では、最小ヤコビアンを3本のエッジベクトル長で除した値です。
Shape：重み付きヤコビアン行列の Mean Ratio の3倍。
相対サイズ：Min(J, 1/J)。ここでJは重み付きヤコビアン行列の行列式です。
Shape & Size：Shape指標とRelative Size指標の積です。
高次要素
ここまでの指標は、四面体の4個のコーナーノードだけに基づいて品質を評価します。次の指標では、中間ノードも考慮します。
Distortion：{min(|J|)/実体積}*親要素体積。Tetでは親要素体積 = 1/6 です。Cubitはtetra10要素のDistortion計算にも対応しています。
tetra10要素では、Distortion指標をShape指標と併用することで、中間エッジノードによって要素内に負のヤコビアンが生じたかどうかを判断できます。Shape指標は線形（親）要素だけを考慮します。tetra10のShape値が0以下なら、その要素には負のヤコビアン領域があります。一方、Shape値が正でもDistortion値が0以下なら、中間ノード位置に起因する負のヤコビアンが要素内に存在します。
要素体積：線形Tetでは、コーナーノードにおける (1/6) * Jacobian です。高次TetではTetをサブTetに分割し、それらの体積を合計します。
Normalized Inradius：最小サブTet内接球半径とTet外接球半径（外接球）の比です。図1に示すように、Tetの重心の共通点と6個の中間エッジノードを用いてTetを12個の小さなTetに分割してサブTetを定義します。この12個のTetのうち最小の内接球半径を、親要素の外接球半径と定数で正規化してこの指標を求めます。Normalized Inradius指標は線形要素にも有効で、その場合は全中間エッジノードをコーナーノード間の中点として定義します。
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図1. Normalized Inradius品質指標の算出に使用するサブTet分割 |
Mean Ratio：概要：Mean Ratio 品質指標は、二乗平均平方根エッジ長を用いて、四面体要素が正四面体からどの程度ずれているかを評価します。ここでは体積比を使用します。4ノードTetでは、体積を6本のエッジ長の二乗平均平方根の3乗と比較します。10ノードTetでは12個のサブTetを構成し、その12個の最小Mean Ratioを返します。Normalized Inradiusとは異なり、Mean Ratioは1つの非常に細長いサブTetに強く影響されます。正四面体形状の10ノードTetには2種類のサブ四面体があります。4ノードTetのコーナーノードまたは親ノードに接続するサブTetは、構成上Mean Ratioが1で、正四面体です。もう一方の中間エッジノードだけに接続する内部サブTetは正四面体ではありませんが、親Tetが正四面体の場合に全サブ四面体のMean Ratioが1になるようスケーリングされます。
Mass Increase Ratio：この指標は、全体の目標時間刻みと要素時間刻みから求めます。目標時間刻みを満たすために必要な密度（マススケーリングによる）をブロック密度で除した値を Mass Increase Ratio と呼びます。各要素内の密度は一定なので、要素密度の比は要素質量の比と等価です。この指標は、指定された目標時間刻みを各要素が満たすために必要な密度を計算します。その密度が定義済み密度より大きい場合、指標値は1を超えます。目的の全体時間刻みは、次のコマンドで設定します：
[Set] Target Timestep <value>
前述のとおり、この指標は要素単位の時間刻み指標を計算します。そのため、要素ブロックにはヤング率とポアソン比の材料特性を定義し、さらに目標時間刻みを設定する必要があります。
この指標をブロックに対して計算した場合（'quality block 1 mass increase ratio'）、ブロックごとの質量増加量も併せて出力されます。
時間刻み：陽解法による過渡動解析で、この要素に使用できる最大時間刻みの近似値です。この臨界時間刻みは、要素形状と材料特性の両方に依存します。Tetでこの指標を計算するには、Tetが材料を関連付けた要素ブロックに含まれ、その材料にポアソン比、弾性係数、密度が定義されている必要があります。
四面体要素では、文献やソフトウェアパッケージによって「aspect ratio」の定義が複数あります。定義が異なると、必ずしも同じ結果や直接比較できる結果にはならないことに注意してください。
四面体品質指標に関する参考文献
- (Parthasarathy, 93)
- (Knupp, 00)
- P. Knupp, Algebraic Mesh Quality Metrics for Unstructured Initial Meshes, to appear in Finite Elements for Design
および解析。 - Flanagan, D.P. and Belytschko, T., 1984, “Eigenvalues and Stable Time Steps for the Uniform Hexahedron and Quadrilateral,” Journal of Applied Mechanics, Vol. 51, pp.35-40.
- SDRC/IDEAS Simulation: Finite Element Modeling - User's Guide