整合単位系
1 整合単位系
Abaqus も Coreform IGA for Abaqus も単位系を規定しません。解析者が与えた数値をそのまま扱うため、すべての入力値と解釈するすべての結果は、1つの自己整合した単位系に属していなければなりません。たとえば長さをミリメートルで与える場合、弾性率をパスカルのまま組み合わせることはできず、まず対応する平方ミリメートルあたりの力の単位へ換算する必要があります。
この章では \(M\) を質量、 \(L\) を長さ、 \(T\) を時間、 \(\Theta\) を熱力学温度に用います。無次元量は \(1\)と表します。 力学の定義単位 の表では、残りの物理量を構成するために用いる独立単位を示します。これは規格文書における正式な基本単位一覧よりも、意図的に対象を力学へ絞ったものです。 導出単位 の表では、各導出量について一般的な整合表現を示します。
エネルギーとモーメントは同じ次元 \(M L^2 T^{-2}\)を持ちますが、物理的意味の違いを明確にするため、単位表記は区別します。たとえば \(\mathrm{J}\) をエネルギー、 \(\mathrm{N\,m}\) をモーメントに用います。
BIPM SI Brochure と NIST Guide to the SI は、ここで用いる SI の定義と換算の規格上の根拠です。
1.1 SI
力学における国際単位系（SI）は、メートル・キログラム・秒からなる整合単位系です。形状をメートルでモデル化する場合、通常もっとも明瞭な選択です。
1.1.1 力学の定義単位
| 物理量 | 単位 | 次元 |
|---|---|---|
| 質量 | \(\mathrm{kg}\) | \(M\) |
| 長さ | \(\mathrm{m}\) | \(L\) |
| 時間 | \(\mathrm{s}\) | \(T\) |
| 温度 | \(\mathrm{K}\) | \(\Theta\) |
1.1.2 導出単位
| 物理量 | 単位 | 次元 |
|---|---|---|
| 面積 | \(\mathrm{m^2}\) | \(L^2\) |
| 体積 | \(\mathrm{m^3}\) | \(L^3\) |
| 速度 | \(\mathrm{m/s}\) | \(L T^{-1}\) |
| 加速度 | \(\mathrm{m/s^2}\) | \(L T^{-2}\) |
| 周波数 | \(\mathrm{Hz} = \mathrm{s^{-1}}\) | \(T^{-1}\) |
| 力 | \(\mathrm{N}\) | \(M L T^{-2}\) |
| エネルギーまたは仕事 | \(\mathrm{J}\) | \(M L^2 T^{-2}\) |
| モーメントまたはトルク | \(\mathrm{N\,m}\) | \(M L^2 T^{-2}\) |
| 仕事率 | \(\mathrm{W}\) | \(M L^2 T^{-3}\) |
| 圧力または応力 | \(\mathrm{Pa} = \mathrm{N/m^2}\) | \(M L^{-1} T^{-2}\) |
| 質量密度 | \(\mathrm{kg/m^3}\) | \(M L^{-3}\) |
| 単位体積あたりの物体力 | \(\mathrm{N/m^3}\) | \(M L^{-2} T^{-2}\) |
1.2 CGS
センチメートル・グラム・秒（CGS）単位系は、一部の科学技術文献で広く用いられています。力には dyne、エネルギーには erg、圧力には barye という固有名の力学単位があります。
1.2.1 力学の定義単位
| 物理量 | 単位 | 次元 |
|---|---|---|
| 質量 | \(\mathrm{g}\) | \(M\) |
| 長さ | \(\mathrm{cm}\) | \(L\) |
| 時間 | \(\mathrm{s}\) | \(T\) |
| 温度 | \(\mathrm{K}\) | \(\Theta\) |
1.2.2 導出単位
| 物理量 | 単位 | 次元 |
|---|---|---|
| 面積 | \(\mathrm{cm^2}\) | \(L^2\) |
| 体積 | \(\mathrm{cm^3}\) | \(L^3\) |
| 速度 | \(\mathrm{cm/s}\) | \(L T^{-1}\) |
| 加速度 | \(\mathrm{cm/s^2}\) | \(L T^{-2}\) |
| 周波数 | \(\mathrm{s^{-1}}\) | \(T^{-1}\) |
| 力 | \(\mathrm{dyn}\) | \(M L T^{-2}\) |
| エネルギーまたは仕事 | \(\mathrm{erg}\) | \(M L^2 T^{-2}\) |
| モーメントまたはトルク | \(\mathrm{dyn\,cm}\) | \(M L^2 T^{-2}\) |
| 仕事率 | \(\mathrm{erg/s}\) | \(M L^2 T^{-3}\) |
| 圧力または応力 | \(\mathrm{Ba} = \mathrm{dyn/cm^2}\) | \(M L^{-1} T^{-2}\) |
| 質量密度 | \(\mathrm{g/cm^3}\) | \(M L^{-3}\) |
| 単位体積あたりの物体力 | \(\mathrm{dyn/cm^3}\) | \(M L^{-2} T^{-2}\) |
1.3 MMTS
ミリメートル・トン・秒（MMTS）単位系は、形状寸法をミリメートルで扱う力学有限要素モデルに特に便利です。
\[ 1\ \mathrm{tonne}\,\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s^2}} = 1\ \mathrm{N}. \]
したがって、応力は自然に \(\mathrm{N/mm^2}=\mathrm{MPa}\)で表せます。地表付近の重力加速度は約 \(9810\ \mathrm{mm/s^2}\).
1.3.1 力学の定義単位
| 物理量 | 単位 | 次元 |
|---|---|---|
| 質量 | \(\mathrm{tonne}\) | \(M\) |
| 長さ | \(\mathrm{mm}\) | \(L\) |
| 時間 | \(\mathrm{s}\) | \(T\) |
| 温度 | \(\mathrm{K}\) | \(\Theta\) |
1.3.2 導出単位
| 物理量 | 単位 | 次元 |
|---|---|---|
| 面積 | \(\mathrm{mm^2}\) | \(L^2\) |
| 体積 | \(\mathrm{mm^3}\) | \(L^3\) |
| 速度 | \(\mathrm{mm/s}\) | \(L T^{-1}\) |
| 加速度 | \(\mathrm{mm/s^2}\) | \(L T^{-2}\) |
| 周波数 | \(\mathrm{s^{-1}}\) | \(T^{-1}\) |
| 力 | \(\mathrm{N}\) | \(M L T^{-2}\) |
| エネルギーまたは仕事 | \(\mathrm{mJ} = \mathrm{N\,mm}\) | \(M L^2 T^{-2}\) |
| モーメントまたはトルク | \(\mathrm{N\,mm}\) | \(M L^2 T^{-2}\) |
| 仕事率 | \(\mathrm{mW} = \mathrm{N\,mm/s}\) | \(M L^2 T^{-3}\) |
| 圧力または応力 | \(\mathrm{MPa} = \mathrm{N/mm^2}\) | \(M L^{-1} T^{-2}\) |
| 質量密度 | \(\mathrm{tonne/mm^3}\) | \(M L^{-3}\) |
| 単位体積あたりの物体力 | \(\mathrm{N/mm^3}\) | \(M L^{-2} T^{-2}\) |
1.4 IPS
ここで用いる整合 inch-pound-second（IPS）単位系では、身近な力の単位として pound-force（lbf）を使用します。これに対応する質量単位は slinch:
\[ 1\ \mathrm{slinch} \equiv 1\ \frac{\mathrm{lbf\,s^2}}{\mathrm{in}}. \]
1.4.1 力学の定義単位
| 物理量 | 単位 | 次元 |
|---|---|---|
| 質量 | \(\mathrm{slinch}\) | \(M\) |
| 長さ | \(\mathrm{in}\) | \(L\) |
| 時間 | \(\mathrm{s}\) | \(T\) |
| 温度 | \({}^\circ\mathrm{R}\) | \(\Theta\) |
1.4.2 導出単位
| 物理量 | 単位 | 次元 |
|---|---|---|
| 面積 | \(\mathrm{in^2}\) | \(L^2\) |
| 体積 | \(\mathrm{in^3}\) | \(L^3\) |
| 速度 | \(\mathrm{in/s}\) | \(L T^{-1}\) |
| 加速度 | \(\mathrm{in/s^2}\) | \(L T^{-2}\) |
| 周波数 | \(\mathrm{s^{-1}}\) | \(T^{-1}\) |
| 力 | \(\mathrm{lbf}\) | \(M L T^{-2}\) |
| エネルギーまたは仕事 | \(\mathrm{lbf\,in}\) | \(M L^2 T^{-2}\) |
| モーメントまたはトルク | \(\mathrm{lbf\,in}\) | \(M L^2 T^{-2}\) |
| 仕事率 | \(\mathrm{lbf\,in/s}\) | \(M L^2 T^{-3}\) |
| 圧力または応力 | \(\mathrm{psi} = \mathrm{lbf/in^2}\) | \(M L^{-1} T^{-2}\) |
| 質量密度 | \(\mathrm{slinch/in^3}\) | \(M L^{-3}\) |
| 単位体積あたりの物体力 | \(\mathrm{lbf/in^3}\) | \(M L^{-2} T^{-2}\) |
1.5 FPS
整合 foot-pound-second（FPS）単位系も、力には pound-force を使用しますが、質量単位は slug:
\[ 1\ \mathrm{slug} \equiv 1\ \frac{\mathrm{lbf\,s^2}}{\mathrm{ft}}, \qquad 1\ \mathrm{slinch}=12\ \mathrm{slug}. \]
1.5.1 力学の定義単位
| 物理量 | 単位 | 次元 |
|---|---|---|
| 質量 | \(\mathrm{slug}\) | \(M\) |
| 長さ | \(\mathrm{ft}\) | \(L\) |
| 時間 | \(\mathrm{s}\) | \(T\) |
| 温度 | \({}^\circ\mathrm{R}\) | \(\Theta\) |
1.5.2 導出単位
| 物理量 | 単位 | 次元 |
|---|---|---|
| 面積 | \(\mathrm{ft^2}\) | \(L^2\) |
| 体積 | \(\mathrm{ft^3}\) | \(L^3\) |
| 速度 | \(\mathrm{ft/s}\) | \(L T^{-1}\) |
| 加速度 | \(\mathrm{ft/s^2}\) | \(L T^{-2}\) |
| 周波数 | \(\mathrm{s^{-1}}\) | \(T^{-1}\) |
| 力 | \(\mathrm{lbf}\) | \(M L T^{-2}\) |
| エネルギーまたは仕事 | \(\mathrm{ft\,lbf}\) | \(M L^2 T^{-2}\) |
| モーメントまたはトルク | \(\mathrm{lbf\,ft}\) | \(M L^2 T^{-2}\) |
| 仕事率 | \(\mathrm{ft\,lbf/s}\) | \(M L^2 T^{-3}\) |
| 圧力または応力 | \(\mathrm{psf} = \mathrm{lbf/ft^2}\) | \(M L^{-1} T^{-2}\) |
| 質量密度 | \(\mathrm{slug/ft^3}\) | \(M L^{-3}\) |
| 単位体積あたりの物体力 | \(\mathrm{lbf/ft^3}\) | \(M L^{-2} T^{-2}\) |
1.6 よくある間違い
1.6.1 pound について
よくある誤りの1つ――特に解析初心者で最も起こりやすい誤りの1つ――は、IPS 単位系で密度を誤って入力することです。これは「lb」が重量・質量・力のどれを意味するのかという混乱に由来すると考えられます。Imperial 単位系や米国慣用単位系に歴史的に多くの名称が受け継がれていることも、混乱を増やします。メートル法とは異なり、これらの単位名はさまざまな由来を持ちます。産業革命以前には、実用上の意味を持つ名称も少なくありませんでした。1
重量・力・質量に関する一般的な名称には pound（lb）、poundal（pdl）、pound-force（lbf）、pound-mass（lbm）、short ton、long ton、slug、slinch があります。これらの語が現れたときは、その次元を慎重に確認し、選択した整合単位系へ換算してください。なお、 NIST による pound-force の定義では、たとえば標準重力が1 avoirdupois pound に及ぼす力との関係が明示されています。
最初の例では、FPS の質量単位で表した密度から始め、質量単位を slug から slinch へ換算します。
\[ \begin{aligned} \rho &= 0.00898\ \frac{\mathrm{slug}}{\mathrm{in}^3},\\ 1\ \mathrm{slug} &\equiv \frac{1\ \mathrm{lbf}}{1\ \mathrm{ft/s^2}},\\ 1\ \mathrm{slinch} &\equiv \frac{1\ \mathrm{lbf}}{1\ \mathrm{in/s^2}},\\ \rho &= 0.00898\ \frac{\mathrm{slug}}{\mathrm{in}^3} \left(\frac{1\ \mathrm{ft}}{12\ \mathrm{in}}\right)\\ &= 0.000748\ \frac{\mathrm{lbf\,s^2}}{\mathrm{in}^4}\\ &= 0.000748\ \frac{\mathrm{slinch}}{\mathrm{in}^3}. \end{aligned} \]
2つ目の例では、よく使われる表形式の鋼の密度 \(0.289\ \mathrm{lbm/in^3}\)から始めます。標準重力加速度を \(32.2\ \mathrm{ft/s^2}\) に丸めて用いると、整合する質量の等価関係は
\[ 1\ \mathrm{lbm} \equiv \frac{1\ \mathrm{lbf}}{32.2\ \mathrm{ft/s^2}} = \frac{1\ \mathrm{lbf\,s^2}}{32.2\ \mathrm{ft}}. \]
となります。したがって完全な換算は
\[ \begin{aligned} \rho &= 0.289\ \frac{\mathrm{lbm}}{\mathrm{in}^3} \left( \frac{1\ \mathrm{lbf\,s^2}} {32.2\ \mathrm{lbm\,ft}} \right) \left(\frac{1\ \mathrm{ft}}{12\ \mathrm{in}}\right)\\ &= 0.000748\ \frac{\mathrm{lbf\,s^2}}{\mathrm{in}^4}\\ &= 0.000748\ \frac{\mathrm{slinch}}{\mathrm{in}^3}. \end{aligned} \]
となります。この数値 \(0.289\) 自体が誤りなのではありません。誤りは、あたかも \(\mathrm{lbm/in^3}\) がすでに整合 IPS の質量密度単位であるかのように入力することです。荷重を重量密度として指定する場合は、単位体積あたりの力として明示的に記述・換算し、たとえば \(\mathrm{lbf/in^3}\)とします。質量密度として暗黙に扱ってはいけません。
脚注
たとえば、 acre は、おおむね牛の一隊が1日で耕せる面積を表していました。また、 ton of refrigeration は、氷点にある short ton（2000 lb）の氷を24時間で融かすために必要な熱移動率に基づいています。↩︎