Immersed IGAの概要
Coreform IGA for Abaqusは、スプラインベースの近似関数を用いたImmersed Isogeometric Analysis（埋め込みIGA）により、Abaqus/Standard上でモデルを解析します。このページではImmersed IGAの考え方を紹介し、Immersed IGAにおける形状表現と離散化が、従来の境界適合型有限要素メッシュとどのように異なるかを説明します。
1 従来の有限要素解析
従来の有限要素解析（FEA）では、要素と節点によって解析対象構造の離散化形状を定義します。各要素は構造の一部分を表し、隣接要素は共有節点を介して接続されます。節点座標、要素接続関係、要素タイプを合わせて有限要素メッシュが定義されます。
境界適合型有限要素メッシュでは、境界節点と要素面を解析形状の境界上に配置します。メッシュは解の近似空間であると同時に、形状の離散表現でもあります。曲面、小さな形状、複雑な交差部を十分に表現するには、より小さな要素や高次要素が必要になる場合があります。
要素タイプ、要素形状、要素位置、総要素数は計算結果に影響します。一般に要素サイズを小さくすると形状と解場の表現は改善しますが、自由度数と解析コストは増加します。適切に定式化されたwell-posedな問題では、メッシュを段階的に細分化すると一意な数値解へ収束することが期待されます。ただし、収束した数値解であっても、形状、材料挙動、境界条件、荷重はいずれもモデル化上の仮定であるため、物理問題そのものに対する近似であることに変わりはありません。
2 アイソジオメトリック解析
IGAでは、滑らかなスプライン関数を用いて解場と形状を表現します。従来の有限要素では要素境界をまたいで解場は連続しますが、解場の微分は通常、要素境界で不連続です。一方、スプライン基底関数は複数要素にまたがって支持を持つことが多く、要素境界をまたいで微分の連続性を維持できます。従来の有限要素と同様に、多項式次数、連続性、要素サイズの組み合わせが近似空間を決定します。連続スプラインによる滑らかさは、曲面形状をより良く表現し、滑らかな解場が有利な問題でより良い解析結果を得るうえで役立ちます。
境界適合型IGAでは、解析メッシュを形状境界に適合させます。スプライン形状を定義する係数は一般に制御点と呼ばれ、変位などの解場の係数は解析自由度になります。通常の有限要素節点とは異なり、スプライン制御点は一般に物理形状上には位置しません。
3 Immersed Isogeometric Analysis
Immersed IGAでは、解析メッシュを形状に適合させる必要がありません。CADモデルが物理解析領域を直接定義し、単純な背景スプライングリッドが解の近似空間を与えます。Immersed解析では、Coreform IGA for Abaqusが選択したCADパートを包み込む構造化直交背景グリッドを生成します。背景グリッドは、パートの面、エッジ、穴、フィレットに位置合わせする必要はありません。背景グリッドの各要素は、物理CAD領域との関係に応じて次のように分類されます。
- パートの完全に外側にある要素は解析から除外されます。
- パートの完全に内側にある要素は非トリム要素であり、その全領域が解析に寄与します。
- パート境界と交差する要素はトリム要素として分類されます。トリム要素はCAD形状との交差によって切り取られ、要素のうち物理領域内部にある部分だけが解析に寄与します。
トリム要素に対して、Coreform IGA for Abaqusは要素内部の物理領域上で支配方程式を積分するために必要な積分データを構築します。このため、構造化背景グリッド自体が境界に一致していなくても、解析領域はトリミング時に用いる幾何学精度の範囲でCAD境界に追従します。
| 特性 | 境界適合型FEA | Immersed IGA |
|---|---|---|
| 体積メッシュ | パート境界に適合 | パートを包み込む構造化背景グリッド |
| 物理境界 | 外表面の要素面で表現 | CAD形状で背景グリッドをトリミングして定義 |
| 曲面および小さな形状 | 形状に適合させるため局所的なメッシュ生成が必要になる場合がある | 適合型体積メッシュを必要とせず背景グリッドと交差 |
| 解の近似 | 共有節点で接続された有限要素形状関数 | 複数要素にまたがることのできる滑らかなスプライン基底関数 |
| 基底の構築 | 要素メッシュとその接続関係から決定 | CAD境界とは独立に定義し、その後で物理領域に制限 |
| 形状準備 | 有効な境界適合型メッシュが必要 | 有効なCAD領域と、解析に十分細かい背景グリッドが必要 |
Immersed IGAは、特に複雑なCADモデルに対して、境界適合型解析で必要となる形状修復やメッシュ生成の作業を削減できます。一方で、細いスリバー領域など扱いの難しいカット形状は、積分精度や数値条件に影響する場合があります。Coreform IGA for Abaqusにはこれらの状況に対処する手法が含まれていますが、解析上重要な領域では注意が必要です。小さな幾何形状や急峻な解勾配は、背景メッシュ側でも十分に解像されなければなりません。
4 AbaqusモデルでImmersed IGAを使用する
Coreform IGA for Abaqusを使用する場合、ユーザーは通常どおりAbaqus/CAE上でCADパート、材料、セクション、アセンブリ、ステップ、荷重、境界条件、および対応する相互作用を含む解析モデルを定義します。Immersed IGAを使用する各パートについて、次に Immersed Rectilinear Coreform IGA Meshを作成し、要素サイズ、スプライン次数、連続性を指定します。その後Coreform IGA for Abaqusが背景スプライングリッドをトリミングし、Abaqusユーザー要素に必要なデータを生成し、対応しているAbaqusモデル定義をIGA離散化へ転送します。
Abaqusの一部機能は要素ベースの境界表現に作用します。必要な場合、Coreform IGA for Abaqusは選択したCAD境界上にテッセレーションされた表面要素を生成し、その表面自由度を下層のスプライン解へ結合します。この仕組みにより、表面荷重や境界条件の適用、対応する接触相互作用などを扱えます。
1つのモデル内には、Coreform IGA for Abaqusで離散化したパートと、従来のAbaqusメッシュで離散化したパートを混在させることができます。Abaqus/Standardはそれらを組み合わせたモデルを組み立てて解き、Coreform IGA for AbaqusはIGAユーザー要素に対して要素残差、接線剛性、およびその他の必要データを提供します。 ワークフロー概要 では、前処理、シミュレーション、後処理の各段階をさらに詳しく説明します。
5 精度、細分化、計算コスト
Immersed IGAメッシュの主な離散化制御は次のとおりです。
- 要素サイズ、 \(h\): 背景要素を小さくすると局所分解能が高まり、一般に要素数と自由度数が増加します。
- 多項式次数、 \(p\): 次数を高くすると近似次数が上がり、各基底関数の支持範囲も広がります。推奨次数は \(p=2\).
- 連続性： 連続性を高くすると要素境界をまたぐ場がより滑らかになり、基底の接続関係と支持範囲も変化します。代表的な連続性は \(p-1\).
- 境界テッセレーションと積分： トリム境界とカット要素は、形状に依存する荷重、拘束、接触、積分を正確に扱えるだけの十分な精度で解像する必要があります。オプションの正値設定である
tessellationSizeは、パートのトリミング用テッセレーションで使用する物理的な三角形エッジ長を制限するメッシュ設定です。未指定の場合は自動テッセレーションサイズが使用されます。