単位立方体への規定変位

1 目的

immersed単位立方体の6面に、ゼロおよび非ゼロの規定変位境界条件をそれぞれ独立に適用できることを検証します。得られる変位場を面ベースのmulti-point probeと、Abaqus output databaseに生成されたsurface-element setから直接確認します。さらに、3次元内部probe gridで一定応力場を確認します。

2 形状

解析領域は

\[ x\in[0,1],\qquad y\in[0,1],\qquad z\in[0,1]. \]

立方体は軸に整列した直交背景グリッド内に埋め込まれています（図1）。spline gridはAbaqusの有限要素meshとは独立に生成され、立方体の6面すべてが背景離散化をtrimします。

3 材料

立方体は均質・等方で、微小ひずみ線形弾性の材料特性を 表1に示します。Abaqusでは、ヤング率とポアソン比で指定する等方線形弾性として定義し、 Linear Elastic Behavior （Abaqus Materials Guide） [1]に従います。生成されるinput deckでは、これは *ELASTIC optionに対応します。Abaqus Keywords Guideでは、 TYPE parameterを省略すると既定の TYPE=ISOTROPIC 挙動が選択されることを確認できます。 [2].

4 荷重・境界条件

力またはtractionは作用させません。6つの標準的な一様分布の変位境界条件により、各面の法線方向成分を1つずつ規定します。残りの成分は、交差する面の条件が辺または角で重なる箇所を除き、拘束しません。

対向する境界条件により、3座標方向に独立な伸びを与えます。値は順に1、2、3で、対応する方向は \(x\)、 \(y\)、 \(z\).

5 メッシュと離散化

edge-centered background gridでは、要素間隔を \(0.6\) として3方向すべてに適用し、frame originを立方体中心に置きます。各軸のgrid planeは \(-0.4\), \(0.2\), \(0.8\)、 \(1.4\)に位置します。したがって各幾何面はtrimmed boundary elementの内部にあり、一方で要素

\[ [0.2,0.8]\times[0.2,0.8]\times[0.2,0.8] \]

は立方体内部に完全に含まれます。

次数1〜3について許容されるすべての連続性を網羅します。最大平滑spline spaceと連続性を低減したspline spaceの両方を含み、組合せを 表3.

6ケースすべてで同一の背景要素配置を使用します。次数と連続性は、 図2に示す要素境界を変えずに近似空間だけを変更します。代表的な \(p=2\), \(C^1\) の図では、trimmed Bézier element edgeをCarnation色、CAD edgeを黒で示します。

各面には、441点のmulti-point probeを \(21\times21\) gridとして配置し、面の辺・中心、および投影されたbackground-grid plane \(0.2\) と \(0.8\)を含めます。また、別の \(3\times3\times3\) 内部probeでは27点で6つの応力成分を要求します。各軸の座標は \(0.1\), \(0.5\)、 \(0.9\) であり、立方体中心を含み、trimmed boundary elementと非trimmed内部要素の両方をsamplingします。

変換後のAbaqus modelでは、各trimmed面を SFM3D3 surface elementのelement setと対応するnode setで表現します。testではsurface-element typeを確認したうえで、対応setから最終nodal displacementをjobのAbaqus output databaseから独立に読み取ります。

6 参照解・受理解

解析ではStatic, General stepを使用し、 NLGEOM=OFFとします。Abaqusではこれによりsmall-displacement formulationが選択され、幾何学的非線形性は無視され、element kinematicsは初期形状まわりで線形化され、微小ひずみ尺度が用いられます。詳細は General and Perturbation Procedures （Abaqus Analysis Guide） [3]に記載されています。この設定はkinematic formulationを制御するもので、等方線形弾性の材料定義自体は変更しません。

受理する変位場は

\[ \mathbf{u}(x,y,z) = \begin{bmatrix} x\\ 2y\\ 3z \end{bmatrix}. \]

微小ひずみ尺度については Strain Measures （Abaqus Theory Guide） [4]を用いるため、ひずみtensorは一定で次式となります。

\[ \boldsymbol{\epsilon} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}. \]

Abaqusの等方線形弾性では [1],

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\,\operatorname{tr}(\boldsymbol{\epsilon})\mathbf{I} + 2\mu\boldsymbol{\epsilon}, \qquad \lambda=\frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu=\frac{E}{2(1+\nu)}. \]

ここで \(E=1\) と \(\nu=0\), \(\lambda=0\) と \(\mu=\tfrac12\)なので

\[ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}. \]

規定変位gradientは、受理tensor成分を直ちに識別できるよう意図的に大きく設定しています。これは物理的に現実的な大ひずみ材料testを表すものではなく、このstudyでは次の設定で選択される線形化応答を検証します： NLGEOM=OFF.

face-probeとODBのcheckでは、3つの変位成分すべてを受理変位場と比較します。内部probeでは、3つのゼロせん断成分を含む6つの独立応力成分すべてを比較します。

7 結果

表4 に、各強制比較クラスで観測された最大誤差を示します。face-probe列とODB列は6面すべてにわたる最大誤差を集約していますが、基礎となるverification testでは各面を独立に確認しています。

7.1 代表結果

図3 は、 \(p=2\), \(C^1\) caseを代表例として、study内の各caseで得られる結果の全体像を示します。形状は計算変位を倍率1で変形表示しています。 \(U_z\) 場は \(0\) （ \(z=0\) ）から \(3\) （ \(z=1\)）へ増加し、一方、 \(S_{zz}\) はおよそ一様に \(3\)です。orientation triadはview方向を示し、変形後のCAD edgeとtrimmed Bézier element edgeが結果surface上の離散化を示します。

これらのviewにより、期待されるaffine変位解と一定応力解の形は確認できますが、それだけではverificationの根拠として十分に焦点化されていません。以降では、検証した各basisについて境界条件残差と応力残差を示します。

8 考察

このstudyでは、すべての変位条件をtrimmed boundary element上に配置しつつ、立方体内部には完全に非trimmedな要素を1つ保持します。したがって6面すべてでの一致を確認することで、user subroutineに依存せず、ゼロ・非ゼロの独立な規定成分の変換と適用を検証できます。

Abaqus output databaseとの比較はCoreform IGA probe出力とは独立であり、各名前付きface element setが SFM3D3 個のelementを含むこと、および対応nodeの変位が受理変位場を再現することを確認します。さらに内部gridにより、検証した各degree-continuity組合せで、変位拘束がvolume全体に期待される一定の法線応力とゼロせん断応力を生成することを確認します。