厚肉球形圧力容器

1 目的

厳密解が既知の二重曲率をもつ三次元問題、すなわち内圧を受ける厚肉球についてCoreform IGA for Abaqusを検証する。Laméの閉形式解は構造内の全点で変位と応力を与えるため、数値解を三次元領域全体の厳密値と比較でき、独自の近似誤差を持つ別のreference solveは不要である。評価量は体積積分した相対global \(L^2\) 誤差で、変位vector、半径方向変位、半径方向応力、および接線方向応力について評価する。

2 形状

内半径 \(a\) 、外半径 \(b\) の正方形断面prismatic beamを 図1に示し、寸法は 表1の中空球の1/8領域を用いる。3つの切断面が座標平面上に位置するようにoctantを配置する。球対称性により、対称境界条件を与えたoctantは球全体を厳密に表現する。

3 材料

球は均質・等方・線形弾性材料である（表2）。modelは無次元化されており、弾性率と圧力は変位解のscaleを定めるが、相対誤差metricでは相殺される。

4 荷重・境界条件

一様圧力 \(p_i\) を内表面に作用させ、外表面はtraction-freeとする（表3）。3つの切断面には \(x\), \(y\)、 \(z\) 座標平面上で対称条件（法線方向変位ゼロ）を与える。これにより剛体運動を拘束し、球全体を表すoctant modelが完成する。

5 メッシュと離散化

Coreform IGAはoctantを immersed trimmed U-splineで離散化する。構造化直交背景gridを曲面shellへtrimし、body-fitted meshは用いないため、球面はgrid cellを任意位置で切断する。背景要素sizeは \(h = 0.1/2^{k}\) で、refinement levelは \(k = 0, 1, 2\)、各層内のdegreeは \(p = 1\), \(2\)、 \(3\) 、最大連続性 \(C^{p-1}\).

6 参照解・受理解

受容値 解は内圧・外圧を受ける厚肉球に対するLaméの閉形式解である。 [1]の設定を使用します。

\[ c = \frac{p_i a^3 - p_o b^3}{b^3 - a^3}, \qquad \kappa = \frac{(p_i - p_o)\, a^3 b^3}{b^3 - a^3}, \]

半径方向応力、接線方向応力、および半径方向変位は次式で与えられる。

\[ \sigma_{rr}(r) = c - \frac{\kappa}{r^3}, \qquad \sigma_{\theta\theta}(r) = c + \frac{\kappa}{2 r^3}, \qquad u_r(r) = \frac{1}{E}\left[(1 - 2\nu)\, c\, r + (1 + \nu)\, \frac{\kappa}{2 r^2}\right]. \]

accepted solutionが厳密であるため、acceptance criteriaは真の離散化誤差を直接制限する。各refinement levelには量ごとの相対 \(L^2\) 許容値を設定し、mesh refinementとともに厳しくする（結果tableのtolerance列参照）。別の数値reference solveは不要である。

7 結果

7.2 収束

8 性能

performanceは、trimming（immersing grid上でtrimmed U-spline basisを構築する段階）とAbaqus solveに分けて報告する。

Coreform IGA Mesh

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Coreform IGA for Abaqus solve

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9 考察

\(p=1\), \(p=2\)、 \(p=3\) 各caseは4つのglobal量すべてについて厳密解へ単調に収束する。この問題では、接線方向応力は滑らかに変化するhoop応答が支配的なため、半径方向応力より高精度である。一方、半径方向応力は、immersed grid cellを任意位置で切る内外両表面でtraction境界条件を満たす必要がある。それでも、背景gridに適合しない曲面形状と圧力負荷面で期待される結果を再現できることを示している。収束率は有限要素理論から期待される率には達していないが、immersed IGAをAbaqus/Standardへ統合するために必要な機構を考えれば驚くことではない。