穴あき薄板の応力集中

1 目的

中央に円孔を有する一軸引張クーポンという古典的な線形弾性応力集中問題に対して、Coreform IGA for Abaqus が応力集中を予測できることを検証します。評価対象は円孔縁のピーク応力で、その 受容値 は Roark に掲載された応力集中係数です[1]。また、line probe に沿う横断方向の応力・変位プロファイルを、body-fitted Abaqus の参照解と比較します。

2 形状

中央に円孔を有する薄い長方形クーポンを図（図1）に示し、各パラメータは 表1に示します。検証量は、円孔縁から自由端までの最短スパンに沿ってサンプリングします。

3 材料

クーポンは均質・等方・線形弾性材料で、材料特性を（表2).

4 荷重・境界条件

クーポンには右端面への一様圧力によって一軸引張を与え（表3）、左端面は 図2に示すように拘束します。荷重は Young 率に比べて十分小さく、応答を線形とみなします。

5 メッシュと離散化

Coreform IGA ではクーポンを immersed trimmed U-splineで離散化します。body-fitted mesh を形状に合わせて生成するのではなく、構造化された背景 spline を円孔付きクーポン形状で trim します。 \(h/p\) refinement study を行い、背景要素サイズを \(h = 6/2^{k}\) を \(k = 0,\dots,4\) 、多項式次数を \(p = 1\), \(2\)、 \(3\)として計算します。各meshの要素数、node数、自由度数は 第8節.

に示します。以下のタブでは、各背景要素サイズ \(h\) について trimmed immersed mesh を示します（mesh はすべての次数 \(p\)で共通）。各runの IGA results database から、CAD surface 上の trimmed Bezier element edge を Carnation 色、CAD edge を黒で描画しています。 Reference タブには body-fitted Abaqus mesh を示します。reference test が ODB から出力した VTU を描画しています。最初のグループはクーポン全体、2つ目は円孔上端からクーポン上端までの nominal section の詳細です。

クーポン全体

nominal section 詳細

6 参照解・受理解

Roark の 『Formulas for Stress and Strain』Table 17.1 case 7a では、net section の 受容値 応力集中係数を

\[ K_t = \sum_{i=0}^{3} C_i \left(\tfrac{2r}{D}\right)^i , \]

とし、多項式係数 \(C_i\) は 表4に示されます。net section の nominal stress は

\[ \sigma_{\text{nom}} = \frac{P\,t D}{t\,(D - 2r)} , \]

であるため、円孔縁の受容ピーク最大主応力は

\[ \sigma_{\max} = K_t\,\sigma_{\text{nom}} . \]

です。評価した値を reference solve とともに 表5.

reference solution は、同じクーポンを密な二次要素の body-fitted mesh で解析した通常の Abaqus 解析です。line probe に沿う横断方向の応力・変位プロファイルを field quantity の比較対象とし、円孔縁のピーク最大主応力は Roark の受容値（表5）と並べる独立な数値推定値として扱います。reference 自体も厳密解ではなく数値近似なので ground truth とはみなしません。この区別は convergence study（第7.5節).

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7 結果

7.2 応力場

図3 では、最も細かい \(p = 2\) mesh の immersed IGA solution（図3(a)）と body-fitted Abaqus reference solve（図3(b)）の最大主応力場を比較します。両者を ParaView で同一カラースケールに描画します。Abaqus field は reference test case が ODB から出力した VTU に基づくため、contour を直接比較できます。

以下のタブでは、同じ共通カラースケールで study の全caseへ比較を拡張します。 Reference タブと任意の IGA case を切り替えることで contour を直接比較できます。

クーポン全体

• Reference
• h=6, p=1
• h=3, p=1
• h=1.5, p=1
• h=0.75, p=1
• h=0.375, p=1
• h=6, p=2
• h=3, p=2
• h=1.5, p=2
• h=0.75, p=2
• h=0.375, p=2
• h=6, p=3
• h=3, p=3
• h=1.5, p=3
• h=0.75, p=3
• h=0.375, p=3

nominal section 詳細

• Reference
• h=6, p=1
• h=3, p=1
• h=1.5, p=1
• h=0.75, p=1
• h=0.375, p=1
• h=6, p=2
• h=3, p=2
• h=1.5, p=2
• h=0.75, p=2
• h=0.375, p=2
• h=6, p=3
• h=3, p=3
• h=1.5, p=3
• h=0.75, p=3
• h=0.375, p=3

7.3 横断応力プロファイル

図4 では line probe に沿う最大主応力の横断プロファイルを示します。各次数について、reference Abaqus solve と粗→細の IGA sweep を比較します。IGA 曲線は \(h\) が小さくなるにつれて一貫したprofileへ収束します。

7.4 変位プロファイル

横断方向の変位成分も同じ \(h\)refinement の挙動を示します。 図5 を \(u_x\) と 図6 を \(u_y\).

7.5 Mesh convergence

reference solve 自体も近似解であり、IGA discretization がわずかに異なる（場合によってはより高精度な）solutionへ収束する可能性があるため、convergence は reference ではなく 最も細かい IGA solution に対する self-convergence として評価します。 図7 には、最も細かい solution に向かう横断応力 \(L^2\) 誤差を示し、fitted rate は 1.86（\(p=1\)), 2.23 (\(p=2\))、および 2.38 (\(p=3\)).

8 性能

immersed IGA 解析の2段階について性能を分けて示します。 trimming （immersing grid 上で trimmed U-spline basis を構築する処理）と Abaqus solve.

9 考察

最も細かいメッシュでは、Coreform IGAのピーク応力はRoarkの \(K_t\) に対して0.62%以内、参照解のピーク応力に対して0.09%以内で一致し、横断方向の応力・変位プロファイルも参照解に対して \(10^{-3}\) 未満の相対 \(L^2\)誤差で一致します。一様refinementでは、応力profileは1.86（\(p=1\)), 2.23 (\(p=2\))、および 2.38 (\(p=3\)）のrateで self-converge します。最も粗い immersed mesh は pre-asymptotic 領域にあり、background mesh が応力集中を解像できるまでは多項式次数を上げても精度は改善しません。

reference 自体が近似FEM解であるため、convergence は reference ではなく最も細かい IGA solution に対して評価します。Coreform IGA と独立な body-fitted reference が1%未満で一致し、さらに両者が Roark の解析的な \(K_t\) 結果とも一致することから、この応力集中問題に対する Coreform IGA の immersed U-spline discretization を検証できます。