片持ちbeam bending

1 目的

閉形式解が既知の単一問題を用いて、一般的なAbaqus荷重・境界条件タイプに対するCoreform IGA for Abaqusの対応を検証します。対象は、重力、body force、surface pressure（一様値およびtotal-force指定）、surface traction（follower/resultant variantを含む）、集中端モーメントで曲げられる細長い片持ち梁です。各荷重caseを対応するEuler–Bernoulli梁解と比較し、独立な比較点としてpure-Abaqus body-fitted mesh refinement sweepも保持します。主要評価量は先端変位で、line probeに沿うたわみ曲線、曲げ応力分布、せん断応力分布も閉形式解と比較します。test artifactは単位系をSI（m, kg, s, N, Pa）として記録しているため、すべての有次元入力・結果は SI整合単位系.

2 形状

幅 \(b\)、高さ \(h\)、長さ \(L\) の正方形断面prismatic beamを 図1に示し、寸法は 表1に示します。断面中心は \(x\)/\(y\) 原点にあり、beam axisは \(z \in [0, L]\)に沿います。検証量は3本のline probeでサンプリングします。beam axis（\(u_y\)）、上側fiber（ \(y = h/2\) (\(\sigma_{zz}\)）、midspan section line（ \(z = L/2\) (\(\sigma_{zz}\) と \(\tau_{zy}\)).

3 材料

梁は均質・等方・線形弾性材料です（表2）。Poisson比は意図的に0とし、Poisson効果を持たないEuler–Bernoulli kinematicsと3D solidが一致するようにします。

4 荷重・境界条件

理想化した梁は 理想化した梁はに示すようにclampします。 図2でclampします。3次元solid modelでは、 理想化した梁は 面の全並進自由度を固定してこの条件を与えます。以下の各荷重caseは独立したstudyとして適用し、それ以外のmodel inputは全caseで同一です。

4.1 重力

大きさ \(g\) の重力荷重を \(-y\) 方向へbody全体に作用させます（ 図3）。したがって梁の自重は分布line load \(w = \rho g b h\).

4.2 Body force（体積力）

単位体積あたり大きさ \(F=\rho g\) の重力荷重を \(-y\)に示すようにclampします。 図4の一様body forceを与えます。この荷重は静力学的にはgravity caseと同一ですが、gravityではなくbody-force load typeを検証します。

4.3 Pressure

上面（\(y = +h/2\)）にnormal pressureを与えます（ 図5）。次の2 variantを検証します。 uniform（一様pressure）：入力値をpressureそのものとして指定します。 total force（全力指定）：面全体に分配するtotal forceを入力します。両者が同じline load \(w\).

4.4 Surface traction（表面traction）

端面（\(z = L\)）に一様shear tractionを \(-y\)方向へ作用させ、resultant tip load \(P = t\,bh\) を与えます（ 図6）。さらにtraction optionを検証する2つのcoverage variantを実行します。 follower (follower=ON：traction方向が変形面に追従します。 resultant (resultant=ON：指定tractionをreference area上で積分し、Abaqusが一定resultantを維持します。 resultant optionは入力traction magnitudeをtotal forceとして再解釈するものではなく、magnitudeはpressure単位のままです。この解析はsmall-displacementなので、3つのtraction variantは同じsolutionになります。

4.5 端モーメント

集中モーメント \(M_0\) を \(x\) 軸まわりにbeam tipへ作用させます（ 図7）。3D solid modelでは端面重心のreference pointに与え、kinematic couplingで端面全体へ伝達します。

荷重case	Test case	Magnitude（大きさ）
重力	gravity	\(9.81\ m/s²\)
Body force（体積力）	body_force	\(78.5 \times 10^{3}\ N/m³\)
Pressure（一様）	pressure_uniform	\(5.00 \times 10^{3}\ Pa\)
Pressure（total force）	pressure_total_force	\(500\ N\)
Surface traction（表面traction）	traction	\(500\ Pa\)
端モーメント	moment	\(5\ N·m\)

5 メッシュと離散化

Coreform IGAでは梁を immersed trimmed U-splineで離散化します。各辺に \(p\) 個のpadding elementを持つstructured rectilinear background gridを梁形状でtrimします。background element sizeは \((0.1, 0.1, 0.25)/2^{k}\) を \((x, y, z)\) で、refinement levelは \(k = 0,\dots,4\)、evidence-backed degreeは \(p = 1\), \(p = 2\), \(p = 3\) 、最大連続性 \(C^{p-1}\)です。主要な各load caseは同じmesh sweepを使用し、follower/resultant traction variantはsingle-level coverage caseです。そのためmeshは一度だけ示します。以下のtabはgravity studyのIGA results databaseから各refinement levelを描画し、trimmed Bezier element edgeをCarnation色、CAD edgeを黒で示します。

6 参照解・受理解

受容値 受容解はEuler–Bernoulli cantileverの閉形式解 [1]です。分布荷重case（gravity、body force、2種類のpressure）は一様line load \(w\):

\[ V(z) = w\,(L - z), \qquad M(z) = -\tfrac{w}{2}\,(L - z)^2, \qquad u_y(z) = -\frac{w z^2}{24 E I_x}\left(6L^2 - 4Lz + z^2\right). \]

traction caseはtip load \(P\):

\[ V(z) = P, \qquad M(z) = -P\,(L - z), \qquad u_y(z) = -\frac{P z^2\,(3L - z)}{6 E I_x}, \]

に、end moment \(M_0\) では一定moment・zero shearになります。

\[ V(z) = 0, \qquad M(z) = -M_0, \qquad u_y(z) = -\frac{M_0 z^2}{2 E I_x}. \]

応力はsection resultantから次式で回復します。 \(Q(y) = \tfrac{b}{2}\left(\tfrac{h^2}{4} - y^2\right)\):

\[ \sigma_{zz}(y, z) = -\frac{M(z)\, y}{I_x}, \qquad \tau_{zy}(y, z) = \frac{V(z)\, Q(y)}{I_x\, b}. \]

Euler–Bernoulli自体も3D solidの近似であり、shear deformationを無視し、さらに固定した端面は理想化supportより剛いので、完全一致は期待しません。testではasymptotic refinement levelでtip deflectionが5%以内に一致することを各studyのgateとし、収束が最も遅いstudyでは10%まで緩和します。pre-asymptoticな粗い \(p = 1\) meshはbending lockingを示してもsolveとreportは行いますがgate対象にはしません。このmodeling gapとdiscretization errorを分離するため、各load caseにC3D8/C3D20を用いた独立pure-Abaqus body-fitted refinement sweepも含めます。accepted-solution表とtip-deflection表のreference値は最細levelのC3D20結果です。contour galleryにはC3D8/C3D20の全sweepを残してdiscretization behaviorを可視化します。Coreform IGAとbody-fitted modelは同じelasticity problemを離散化するため、Euler–Bernoulliとの一致より相互の一致が良くなるはずです。

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7 結果

以下の各load caseでは、tip deflectionをEuler–Bernoulli値および最細C3D20 reference結果と比較します（rowは \(h\)sweep、degreeごとに1 tabで、degree tabはload case間で同期します）。さらにEuler–Bernoulliに対する4種類のverification profile（probe quantityごとに1 figure、degreeごとにsubfigure）、full-span line-probeのabsolute \(L^2\) self-convergenceを同じdegreeの \(h_4\) profileに対して評価し、全test caseのaxial-stress contourも示します。contour plotはCoreform IGA sweepとC3D8/C3D20 Abaqus sweepを別々の同期tab groupとして示し、Euler–Bernoulli peakで上限をそろえた共通color scaleを使用します。

7.1 重力

Euler–Bernoulli tip deflection： \(-58.9 \times 10^{-6}\) m、最細C3D20 Abaqus reference： \(-59.3 \times 10^{-6}\) m。

• p=1
• p=2
• p=3

\(h_z\)	\(u_y\) 先端 [m]	Euler–Bernoulli比	最細C3D20 reference比
0.25	\(-17.8 \times 10^{-6}\)	\(69.7\%\)	\(70\%\)
0.125	\(-31.3 \times 10^{-6}\)	\(46.8\%\)	\(47.2\%\)
0.0625	\(-48.2 \times 10^{-6}\)	\(18.2\%\)	\(18.8\%\)
0.03125	\(-56.4 \times 10^{-6}\)	\(4.14\%\)	\(4.9\%\)
0.015625	\(-58.8 \times 10^{-6}\)	\(0.119\%\)	\(0.909\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端 [m]	Euler–Bernoulli比	最細C3D20 reference比
0.25	\(-58.9 \times 10^{-6}\)	\(0.117\%\)	\(0.675\%\)
0.125	\(-59.6 \times 10^{-6}\)	\(1.34\%\)	\(0.538\%\)
0.0625	\(-59.6 \times 10^{-6}\)	\(1.29\%\)	\(0.486\%\)
0.03125	\(-59.6 \times 10^{-6}\)	\(1.24\%\)	\(0.437\%\)
0.015625	\(-59.6 \times 10^{-6}\)	\(1.21\%\)	\(0.412\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端 [m]	Euler–Bernoulli比	最細C3D20 reference比
0.25	\(-62.0 \times 10^{-6}\)	\(5.32\%\)	\(4.49\%\)
0.125	\(-59.8 \times 10^{-6}\)	\(1.53\%\)	\(0.728\%\)
0.0625	\(-59.6 \times 10^{-6}\)	\(1.33\%\)	\(0.532\%\)
0.03125	\(-59.6 \times 10^{-6}\)	\(1.26\%\)	\(0.455\%\)
0.015625	\(-59.6 \times 10^{-6}\)	\(1.22\%\)	\(0.418\%\)

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7.1.1 Contour plot

Coreform IGA for Abaqus

• h0p1
• h1p1
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• h2p3
• h3p3
• h4p3

Abaqus reference

• h0p1
• h1p1
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• h4p1
• h0p2
• h1p2
• h2p2
• h3p2
• h4p2

7.2 Body force（体積力）

Euler–Bernoulli tip deflection： \(-58.9 \times 10^{-6}\) m、最細C3D20 Abaqus reference： \(-59.3 \times 10^{-6}\) m。

• p=1
• p=2
• p=3

\(h_z\)	\(u_y\) 先端 [m]	Euler–Bernoulli比	最細C3D20 reference比
0.25	\(-17.8 \times 10^{-6}\)	\(69.7\%\)	\(70\%\)
0.125	\(-31.3 \times 10^{-6}\)	\(46.8\%\)	\(47.2\%\)
0.0625	\(-48.2 \times 10^{-6}\)	\(18.2\%\)	\(18.8\%\)
0.03125	\(-56.4 \times 10^{-6}\)	\(4.14\%\)	\(4.9\%\)
0.015625	\(-58.8 \times 10^{-6}\)	\(0.119\%\)	\(0.909\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端 [m]	Euler–Bernoulli比	最細C3D20 reference比
0.25	\(-58.9 \times 10^{-6}\)	\(0.117\%\)	\(0.675\%\)
0.125	\(-59.6 \times 10^{-6}\)	\(1.34\%\)	\(0.538\%\)
0.0625	\(-59.6 \times 10^{-6}\)	\(1.29\%\)	\(0.486\%\)
0.03125	\(-59.6 \times 10^{-6}\)	\(1.24\%\)	\(0.437\%\)
0.015625	\(-59.6 \times 10^{-6}\)	\(1.21\%\)	\(0.412\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端 [m]	Euler–Bernoulli比	最細C3D20 reference比
0.25	\(-62.0 \times 10^{-6}\)	\(5.32\%\)	\(4.49\%\)
0.125	\(-59.8 \times 10^{-6}\)	\(1.53\%\)	\(0.728\%\)
0.0625	\(-59.6 \times 10^{-6}\)	\(1.33\%\)	\(0.532\%\)
0.03125	\(-59.6 \times 10^{-6}\)	\(1.26\%\)	\(0.455\%\)
0.015625	\(-59.6 \times 10^{-6}\)	\(1.22\%\)	\(0.418\%\)

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7.2.1 Contour plot

Coreform IGA for Abaqus

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Abaqus reference

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• h3p1
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• h0p2
• h1p2
• h2p2
• h3p2
• h4p2

7.3 Pressure（一様）

Euler–Bernoulli tip deflection： \(-37.5 \times 10^{-6}\) m、最細C3D20 Abaqus reference： \(-37.8 \times 10^{-6}\) m。

• p=1
• p=2
• p=3

\(h_z\)	\(u_y\) 先端 [m]	Euler–Bernoulli比	最細C3D20 reference比
0.25	\(-11.4 \times 10^{-6}\)	\(69.7\%\)	\(70\%\)
0.125	\(-20.0 \times 10^{-6}\)	\(46.8\%\)	\(47.2\%\)
0.0625	\(-30.7 \times 10^{-6}\)	\(18.2\%\)	\(18.8\%\)
0.03125	\(-35.9 \times 10^{-6}\)	\(4.14\%\)	\(4.9\%\)
0.015625	\(-37.5 \times 10^{-6}\)	\(0.12\%\)	\(0.909\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端 [m]	Euler–Bernoulli比	最細C3D20 reference比
0.25	\(-37.5 \times 10^{-6}\)	\(0.116\%\)	\(0.676\%\)
0.125	\(-38.0 \times 10^{-6}\)	\(1.34\%\)	\(0.538\%\)
0.0625	\(-38.0 \times 10^{-6}\)	\(1.29\%\)	\(0.485\%\)
0.03125	\(-38.0 \times 10^{-6}\)	\(1.24\%\)	\(0.437\%\)
0.015625	\(-38.0 \times 10^{-6}\)	\(1.21\%\)	\(0.412\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端 [m]	Euler–Bernoulli比	最細C3D20 reference比
0.25	\(-39.5 \times 10^{-6}\)	\(5.32\%\)	\(4.49\%\)
0.125	\(-38.1 \times 10^{-6}\)	\(1.53\%\)	\(0.727\%\)
0.0625	\(-38.0 \times 10^{-6}\)	\(1.33\%\)	\(0.531\%\)
0.03125	\(-38.0 \times 10^{-6}\)	\(1.26\%\)	\(0.454\%\)
0.015625	\(-38.0 \times 10^{-6}\)	\(1.22\%\)	\(0.418\%\)

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7.3.1 Contour plot

Coreform IGA for Abaqus

• h0p1
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Abaqus reference

• h0p1
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• h2p1
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• h4p1
• h0p2
• h1p2
• h2p2
• h3p2
• h4p2

7.4 Pressure（total force）

Euler–Bernoulli tip deflection： \(-37.5 \times 10^{-6}\) m、最細C3D20 Abaqus reference： \(-37.8 \times 10^{-6}\) m。

• p=1
• p=2
• p=3

\(h_z\)	\(u_y\) 先端 [m]	Euler–Bernoulli比	最細C3D20 reference比
0.25	\(-11.4 \times 10^{-6}\)	\(69.7\%\)	\(70\%\)
0.125	\(-20.0 \times 10^{-6}\)	\(46.8\%\)	\(47.2\%\)
0.0625	\(-30.7 \times 10^{-6}\)	\(18.2\%\)	\(18.8\%\)
0.03125	\(-35.9 \times 10^{-6}\)	\(4.14\%\)	\(4.9\%\)
0.015625	\(-37.5 \times 10^{-6}\)	\(0.12\%\)	\(0.909\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端 [m]	Euler–Bernoulli比	最細C3D20 reference比
0.25	\(-37.5 \times 10^{-6}\)	\(0.116\%\)	\(0.676\%\)
0.125	\(-38.0 \times 10^{-6}\)	\(1.34\%\)	\(0.538\%\)
0.0625	\(-38.0 \times 10^{-6}\)	\(1.29\%\)	\(0.485\%\)
0.03125	\(-38.0 \times 10^{-6}\)	\(1.24\%\)	\(0.437\%\)
0.015625	\(-38.0 \times 10^{-6}\)	\(1.21\%\)	\(0.412\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端 [m]	Euler–Bernoulli比	最細C3D20 reference比
0.25	\(-39.5 \times 10^{-6}\)	\(5.32\%\)	\(4.49\%\)
0.125	\(-38.1 \times 10^{-6}\)	\(1.53\%\)	\(0.727\%\)
0.0625	\(-38.0 \times 10^{-6}\)	\(1.33\%\)	\(0.531\%\)
0.03125	\(-38.0 \times 10^{-6}\)	\(1.26\%\)	\(0.454\%\)
0.015625	\(-38.0 \times 10^{-6}\)	\(1.22\%\)	\(0.418\%\)

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7.4.1 Contour plot

Coreform IGA for Abaqus

• h0p1
• h1p1
• h2p1
• h3p1
• h4p1
• h0p2
• h1p2
• h2p2
• h3p2
• h4p2
• h0p3
• h1p3
• h2p3
• h3p3
• h4p3

Abaqus reference

• h0p1
• h1p1
• h2p1
• h3p1
• h4p1
• h0p2
• h1p2
• h2p2
• h3p2
• h4p2

7.5 Surface traction（表面traction）

Euler–Bernoulli tip deflection： \(-1.00 \times 10^{-6}\) m、最細C3D20 Abaqus reference： \(-1.01 \times 10^{-6}\) m。

• p=1
• p=2
• p=3

\(h_z\)	\(u_y\) 先端 [m]	Euler–Bernoulli比	最細C3D20 reference比
0.25	\(-287 \times 10^{-9}\)	\(71.3\%\)	\(71.5\%\)
0.125	\(-509 \times 10^{-9}\)	\(49.1\%\)	\(49.4\%\)
0.0625	\(-810 \times 10^{-9}\)	\(19\%\)	\(19.4\%\)
0.03125	\(-955 \times 10^{-9}\)	\(4.52\%\)	\(5.08\%\)
0.015625	\(-996 \times 10^{-9}\)	\(0.431\%\)	\(1.02\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端 [m]	Euler–Bernoulli比	最細C3D20 reference比
0.25	\(-1.00 \times 10^{-6}\)	\(0.0964\%\)	\(0.496\%\)
0.125	\(-1.01 \times 10^{-6}\)	\(1.01\%\)	\(0.409\%\)
0.0625	\(-1.01 \times 10^{-6}\)	\(0.964\%\)	\(0.366\%\)
0.03125	\(-1.01 \times 10^{-6}\)	\(0.926\%\)	\(0.328\%\)
0.015625	\(-1.01 \times 10^{-6}\)	\(0.907\%\)	\(0.309\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端 [m]	Euler–Bernoulli比	最細C3D20 reference比
0.25	\(-1.04 \times 10^{-6}\)	\(4.05\%\)	\(3.44\%\)
0.125	\(-1.01 \times 10^{-6}\)	\(1.15\%\)	\(0.551\%\)
0.0625	\(-1.01 \times 10^{-6}\)	\(0.998\%\)	\(0.4\%\)
0.03125	\(-1.01 \times 10^{-6}\)	\(0.939\%\)	\(0.341\%\)
0.015625	\(-1.01 \times 10^{-6}\)	\(0.911\%\)	\(0.314\%\)

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follower/resultant variantはsingle-level coverage caseとして実行します。small-displacement解析ではbase traction solutionを再現する必要があります（表5).

Test case	Variant	\(u_y\) tip（\(k=0\), \(p=2\))	相対誤差
traction	base	\(-1.00 \times 10^{-6}\)	\(0.0964\%\)
traction_follower	follower	\(-1.00 \times 10^{-6}\)	\(0.0964\%\)
traction_resultant	resultant	\(-1.00 \times 10^{-6}\)	\(0.0964\%\)

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7.5.1 Contour plot

Coreform IGA for Abaqus

• h0p1
• h1p1
• h2p1
• h3p1
• h4p1
• h0p2
• h1p2
• h2p2
• h3p2
• h4p2
• h0p3
• h1p3
• h2p3
• h3p3
• h4p3

Abaqus reference

• h0p1
• h1p1
• h2p1
• h3p1
• h4p1
• h0p2
• h1p2
• h2p2
• h3p2
• h4p2

7.6 端モーメント

Euler–Bernoulli tip deflection： \(-1.50 \times 10^{-6}\) m、最細C3D20 Abaqus reference： \(-1.50 \times 10^{-6}\) m。

• p=1
• p=2
• p=3

\(h_z\)	\(u_y\) 先端 [m]	Euler–Bernoulli比	最細C3D20 reference比
0.25	\(-411 \times 10^{-9}\)	\(72.6\%\)	\(72.6\%\)
0.125	\(-729 \times 10^{-9}\)	\(51.4\%\)	\(51.4\%\)
0.0625	\(-1.20 \times 10^{-6}\)	\(20\%\)	\(20\%\)
0.03125	\(-1.42 \times 10^{-6}\)	\(5.23\%\)	\(5.23\%\)
0.015625	\(-1.48 \times 10^{-6}\)	\(1.12\%\)	\(1.12\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端 [m]	Euler–Bernoulli比	最細C3D20 reference比
0.25	\(-1.50 \times 10^{-6}\)	\(0.246\%\)	\(0.246\%\)
0.125	\(-1.50 \times 10^{-6}\)	\(0.329\%\)	\(0.329\%\)
0.0625	\(-1.50 \times 10^{-6}\)	\(0.25\%\)	\(0.25\%\)
0.03125	\(-1.50 \times 10^{-6}\)	\(0.22\%\)	\(0.22\%\)
0.015625	\(-1.50 \times 10^{-6}\)	\(0.207\%\)	\(0.207\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端 [m]	Euler–Bernoulli比	最細C3D20 reference比
0.25	\(-1.54 \times 10^{-6}\)	\(2.41\%\)	\(2.41\%\)
0.125	\(-1.51 \times 10^{-6}\)	\(0.374\%\)	\(0.374\%\)
0.0625	\(-1.50 \times 10^{-6}\)	\(0.269\%\)	\(0.269\%\)
0.03125	\(-1.50 \times 10^{-6}\)	\(0.228\%\)	\(0.228\%\)
0.015625	\(-1.50 \times 10^{-6}\)	\(0.21\%\)	\(0.21\%\)

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7.6.1 Contour plot

Coreform IGA for Abaqus

• h0p1
• h1p1
• h2p1
• h3p1
• h4p1
• h0p2
• h1p2
• h2p2
• h3p2
• h4p2
• h0p3
• h1p3
• h2p3
• h3p3
• h4p3

Abaqus reference

• h0p1
• h1p1
• h2p1
• h3p1
• h4p1
• h0p2
• h1p2
• h2p2
• h3p2
• h4p2

8 性能

各immersed IGA解析の2段階についてperformanceを分けて報告します。 trimming （immersing grid 上で trimmed U-spline basis を構築する処理）と Abaqus solve。各load caseは同じmesh sweepを使用しますが、各studyを独立に実行したためtimingはload caseごとに報告します。

9 考察

主要な各load-case sweepはmesh refinementに伴って収束します。細かいmeshではtip deflectionがverification toleranceを満たし、4種類のsampled profileすべてがclosed-form solutionへ近づきます。

Euler–Bernoulli theoryとの差はdiscretizationではなくmodel差に由来するため、refinementしてもゼロにはなりません。Euler–Bernoulliはtransverse shear deformationを無視しますがsolid modelはこれを含み、固定したsolid端面も理想化beam supportより剛くなります。このためline-probe convergenceは同じdegreeの最細Coreform IGA profile \(h_4\)に対して測定し、beam theoryやAbaqus reference solutionを厳密解として扱いません。最細C3D20 Abaqus結果はtip quantityの独立FEM比較として保持し、body-fitted sweepはcontour galleryで定性的contextを提供します。

load-equivalence checkでは同じ物理荷重を表すことを意図したcase同士を比較します。Gravityとbody forceはどちらもline load \(\gravityLineLoad\,\mathrm{N\,m^{-1}}\)。Uniform pressureとtotal-force pressureはいずれもline load \(\pressureLineLoad\,\mathrm{N\,m^{-1}}\)を生成します。Uniform pressureとtotal-force pressureも同じline loadを生成します。各pair内の一致により対応するCoreform IGA load translationを検証します。pair間ではline loadが異なるので一致する必要はありません。

small-displacement解析ではfollower/resultant traction variantもbase traction結果を再現します。