片持ちbimetallic beam bending

1 目的

Coreform IGA for Abaqusを 二材料 問題で検証します。対象は、柔らかい層の上に剛い層を積層したbimetallic cantileverで、gravity、body force、surface pressure、surface traction、集中端モーメントによって曲げます。各load caseを変換断面Euler–Bernoulli解と比較します。この問題を単一材料梁と区別する本質は、材料interfaceで曲げ応力が不連続になることです。主要評価量はtip deflectionで、line probeに沿うたわみ曲線、二材料断面内の曲げ・せん断応力分布も閉形式解と比較します。interface workflowは、2層を1つのpartへmergeしてinterface nodeを共有する方法と、別partをtie constraintで接合する方法の2種類を検証します。すべての数値入力には millimeter–tonne–second（MMTS）の整合単位系.

2 形状

幅 \(b\) 、長さ \(L\) の正方形断面prismatic beamを 図1に示し、寸法は 表1のprismaticな二層梁です。柔らかい層の高さは \(h_f\) でinterface planeの下側、剛い層の高さは \(h_s\) でその上側にあります。interfaceは \(y = 0\) 平面上にあり、断面中心は \(x\) 原点に置き、beam axisは \(z \in [0, L]\)に沿います。検証量は3本のline probeでサンプリングします。断面中心のinterface line（\(u_y\)）と、midspanおよびclamped endで二材料stackを横切るsection line（\(\sigma_{zz}\) と \(\tau_{zy}\)).

3 材料

各層は均質・等方・線形弾性材料です（表2）。代表的なcopperとtungstenの弾性率・密度を用い、馴染みのある工学的スケールと十分な剛性・密度contrastを持たせていますが、材料allowableを表す値ではありません。剛い層の弾性率は柔らかい層の4倍で、modular ratioは \(n = E_s/E_f = \modularRatio\)です。Poisson比は両層とも意図的に0とし、Poisson効果を含まないEuler–Bernoulliの受容解と3D solidを整合させます。

4 荷重・境界条件

理想化したcomposite beamは 理想化した梁はに示すようにclampします。 図2でclampします。3次元solid modelでは、 理想化した梁は 面をclampし、全並進自由度を固定します。以下の各load caseは独立したstudyとして適用します。gravityとbody-force caseではmesh、材料定義、境界条件、完全tieされた層interfaceを同一にし、異なるのはload定義だけです。

4.1 重力

大きさ \(g = 9810\ \mathrm{mm}/\mathrm{s}^2\) の重力荷重を \(-y\) 方向へbody全体に作用させます（ 図3。柔らかい層と剛い層はそれぞれ自重を持つため、等価な分布line loadは \(w = g\,b\,(\rho_f h_f + \rho_s h_s)\).

4.2 Body force（体積力）

単位体積あたりの等価body forceを \(-y\)に示すようにclampします。 図4方向に明示的に与えます。その大きさは各層で個別に

\[ q_f = \rho_f g, \qquad q_s = \rho_s g. \]

gravity translatorは \(g\)を与え、Coreform IGAは各quadrature pointで材料密度を乗じます。explicit body-force caseでは、その結果となる \(q_i\) を直接指定します。したがって2つのload caseは、断面resultantが同じだけでなく、pointwiseのforce densityも同一です。2層は別々のload targetのままperfect tieで接合し、変換断面beam theoryが仮定する理想接着を表します。

4.3 Pressure

剛い層の上面（\(y = +h_s\)）にnormal pressureを与えます（ 図5）に一様normal pressureを与えます。これは等価な分布line load \(w\).

4.4 Surface traction（表面traction）

端面（\(z = L\)）に一様shear tractionを \(-y\)方向へ作用させ、resultant tip load \(P = t\,b\,(h_f + h_s)\) を与えます（ 図6になります。このload caseもtie-constraint interface workflowで実行します。

4.5 端モーメント

集中モーメント \(M_0\) を \(x\) 軸まわりにbeam tipへ作用させます（ 図7）。3D solid modelでは端面重心のreference pointに与え、kinematic couplingで端面全体へ伝達します。

荷重case	Test case	Magnitude（大きさ）	単位
重力	gravity	\(9.81 \times 10^{3}\)	\(\mathrm{mm}/\mathrm{s}^2\)
Body force（体積力）	body_force	Copper： \(87.3 \times 10^{-6}\) Tungsten： \(188 \times 10^{-6}\)	\(\mathrm{N}/\mathrm{mm}^3\)
Pressure	pressure	\(1.00 \times 10^{-3}\)	\(\mathrm{N}/\mathrm{mm}^2\)
Surface traction（表面traction）	traction	\(10.0 \times 10^{-3}\)	\(\mathrm{N}/\mathrm{mm}^2\)
端モーメント	moment	\(5\)	\(\mathrm{N}\mathbin{\cdot}\mathrm{mm}\)

5 メッシュと離散化

Coreform IGAでは梁を immersed trimmed U-splineで離散化します。各辺に \(p\) 個のpadding elementを持つstructured rectilinear background gridを梁形状でtrimします。background element sizeは \((5, 5, 10)/2^{k}\) を \((x, y, z)\) で、refinement levelは \(k = 0,\dots,3\)、各層内のdegreeは \(p = 1\), \(2\)、 \(3\) 、最大連続性 \(C^{p-1}\) です。material interfaceはgridではなくgeometryによって解像します。merged workflowでは2層を1つのpartにしinterface faceでnodeを共有し、tie workflowでは別partのままtie constraintでcoupleします。すべてのload caseは同じmesh sweepを使うため、meshは一度だけ示します。以下のtabではgravity studyのIGA results databaseから各refinement levelを描画します。

6 参照解・受理解

受容値 受容解は変換断面Euler–Bernoulliの閉形式解 [1]です。剛い層をmodular ratio \(n = E_s/E_f\) で等価な単一材料断面へ変換し、中立軸高さと変換断面二次モーメント

\[ \bar{y} = \frac{\hat{y}_s\, n A_s + \hat{y}_f\, A_f}{n A_s + A_f}, \qquad I_t = \frac{b h_f^3}{12} + A_f\,(\hat{y}_f - \bar{y})^2 + n\,\frac{b h_s^3}{12} + n A_s\,(\hat{y}_s - \bar{y})^2 , \]

を求めます。ここで \(A_f = b h_f\) と \(A_s = b h_s\) は各層の面積、 \(\hat{y}_f\), \(\hat{y}_s\) は各層の図心高さです。この断面では中立軸は \(y = \neutralAxis\) で、material interfaceより上の剛い層内にあります。断面resultant \(V(z)\), \(M(z)\) とdeflection \(u_y(z)\) は、曲げ剛性 \(E_f I_t\)を用いる標準cantilever閉形式から得られます。分布荷重case（gravity、body force、pressure）は一様line load \(w\)へ、traction caseはtip load \(P\)へ、end momentは一定moment \(M_0\)へ帰着します。応力は二材料の挙動を回復します。

\[ \sigma_{zz}(y, z) = -\frac{E(y)}{E_f}\,\frac{M(z)\,(y - \bar{y})}{I_t}, \qquad \tau_{zy}(y, z) = \frac{V(z)\, Q(y)}{I_t\, b}, \]

したがって曲げ応力はmaterial interfaceで 不連続 となり、係数 \(n\) だけジャンプします。一方、変換first moment \(Q(y)\)から得るせん断応力は連続です。変換断面model自体も3D solidの近似で、shear deformationを無視し、固定端solid faceは理想化supportより剛いため完全一致は期待しません。受容基準はtip deflectionが5%以内で一致することです。

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7 結果

以下の各load caseでは、tip deflectionを変換断面値と比較します（rowは \(h\)sweepで、degreeごとに1つのtabを用い、degree tabはload case間で同期します）。さらに閉形式解に対する4種類のverification profile（probe quantityごとに1 figure、degreeごとにsubfigure）、full-span line-probeのabsolute \(L^2\) self-convergenceを同じdegreeの \(h_3\) profileに対するself-convergence、および変換断面ピークで上限をそろえた共通color scale上の全test caseのaxial-stress contourを示します。midspanとclamped-sectionのstress profileはmaterial interfaceを横切り、closed-form bending stressはmodular ratioだけジャンプします。trilinear \(p=1\) caseは粗いmeshでbending lockingを起こし得るため、そのlevelはrecord-only diagnosticとして保持します。最細 \(h_3\) 結果にはhigher-degree caseと同じ5% tip-deflection acceptance criterionを適用します。

7.1 重力

変換断面tip deflection： \(-1.13 \times 10^{-3}\).

• p=1
• p=2
• p=3

\(h_z\)	\(u_y\) 先端	変換断面比
10	\(-500 \times 10^{-6}\)	\(55.8\%\)
5	\(-880 \times 10^{-6}\)	\(22.3\%\)
2.5	\(-1.08 \times 10^{-3}\)	\(4.27\%\)
1.25	\(-1.13 \times 10^{-3}\)	\(0.42\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端	変換断面比
10	\(-1.14 \times 10^{-3}\)	\(0.66\%\)
5	\(-1.14 \times 10^{-3}\)	\(0.689\%\)
2.5	\(-1.14 \times 10^{-3}\)	\(0.72\%\)
1.25	\(-1.14 \times 10^{-3}\)	\(0.72\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端	変換断面比
10	\(-1.14 \times 10^{-3}\)	\(0.717\%\)
5	\(-1.14 \times 10^{-3}\)	\(0.687\%\)
2.5	\(-1.14 \times 10^{-3}\)	\(0.589\%\)
1.25	\(-1.14 \times 10^{-3}\)	\(0.72\%\)

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7.1.1 Contour plot

• h0p1
• h1p1
• h2p1
• h3p1
• h0p2
• h1p2
• h2p2
• h3p2
• h0p3
• h1p3
• h2p3
• h3p3

7.2 Body force（体積力）

変換断面tip deflection： \(-1.13 \times 10^{-3}\).

• p=1
• p=2
• p=3

\(h_z\)	\(u_y\) 先端	変換断面比
10	\(-500 \times 10^{-6}\)	\(55.8\%\)
5	\(-880 \times 10^{-6}\)	\(22.3\%\)
2.5	\(-1.08 \times 10^{-3}\)	\(4.27\%\)
1.25	\(-1.13 \times 10^{-3}\)	\(0.42\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端	変換断面比
10	\(-1.14 \times 10^{-3}\)	\(0.66\%\)
5	\(-1.14 \times 10^{-3}\)	\(0.689\%\)
2.5	\(-1.14 \times 10^{-3}\)	\(0.72\%\)
1.25	\(-1.14 \times 10^{-3}\)	\(0.72\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端	変換断面比
10	\(-1.14 \times 10^{-3}\)	\(0.717\%\)
5	\(-1.14 \times 10^{-3}\)	\(0.687\%\)
2.5	\(-1.14 \times 10^{-3}\)	\(0.589\%\)
1.25	\(-1.14 \times 10^{-3}\)	\(0.72\%\)

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7.2.1 Contour plot

• h0p1
• h1p1
• h2p1
• h3p1
• h0p2
• h1p2
• h2p2
• h3p2
• h0p3
• h1p3
• h2p3
• h3p3

7.3 Pressure

変換断面tip deflection： \(-822 \times 10^{-6}\).

• p=1
• p=2
• p=3

\(h_z\)	\(u_y\) 先端	変換断面比
10	\(-342 \times 10^{-6}\)	\(58.4\%\)
5	\(-637 \times 10^{-6}\)	\(22.4\%\)
2.5	\(-787 \times 10^{-6}\)	\(4.27\%\)
1.25	\(-818 \times 10^{-6}\)	\(0.417\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端	変換断面比
10	\(-827 \times 10^{-6}\)	\(0.646\%\)
5	\(-828 \times 10^{-6}\)	\(0.716\%\)
2.5	\(-828 \times 10^{-6}\)	\(0.72\%\)
1.25	\(-828 \times 10^{-6}\)	\(0.72\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端	変換断面比
10	\(-828 \times 10^{-6}\)	\(0.72\%\)
5	\(-828 \times 10^{-6}\)	\(0.72\%\)
2.5	\(-828 \times 10^{-6}\)	\(0.721\%\)
1.25	\(-828 \times 10^{-6}\)	\(0.72\%\)

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7.3.1 Contour plot

• h0p1
• h1p1
• h2p1
• h3p1
• h0p2
• h1p2
• h2p2
• h3p2
• h0p3
• h1p3
• h2p3
• h3p3

7.4 Surface traction（表面traction）

変換断面tip deflection： \(-2.19 \times 10^{-3}\).

• p=1
• p=2
• p=3

\(h_z\)	\(u_y\) 先端	変換断面比
10	\(-874 \times 10^{-6}\)	\(60.1\%\)
5	\(-1.69 \times 10^{-3}\)	\(23\%\)
2.5	\(-2.09 \times 10^{-3}\)	\(4.51\%\)
1.25	\(-2.18 \times 10^{-3}\)	\(0.606\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端	変換断面比
10	\(-2.20 \times 10^{-3}\)	\(0.485\%\)
5	\(-2.20 \times 10^{-3}\)	\(0.537\%\)
2.5	\(-2.20 \times 10^{-3}\)	\(0.539\%\)
1.25	\(-2.20 \times 10^{-3}\)	\(0.539\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端	変換断面比
10	\(-2.20 \times 10^{-3}\)	\(0.54\%\)
5	\(-2.20 \times 10^{-3}\)	\(0.54\%\)
2.5	\(-2.20 \times 10^{-3}\)	\(0.54\%\)
1.25	\(-2.20 \times 10^{-3}\)	\(0.54\%\)

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traction studyは tie constraint interface workflowでも実行します。2層はinterface nodeを共有せず別partのままとし、tie constraintで接合します。両workflowは同一問題を離散化するため、tip deflectionは一致する必要があります（表5).

次数	Interface workflow（interface接合方式）	\(u_y\) tip（最細level）	変換断面比
p=1	Merged part（interface node共有）	\(-2.18 \times 10^{-3}\)	\(0.606\%\)
p=1	別part間のtie constraint	\(-2.18 \times 10^{-3}\)	\(0.609\%\)
p=2	Merged part（interface node共有）	\(-2.20 \times 10^{-3}\)	\(0.539\%\)
p=2	別part間のtie constraint	\(-2.20 \times 10^{-3}\)	\(0.539\%\)
p=3	Merged part（interface node共有）	\(-2.20 \times 10^{-3}\)	\(0.54\%\)
p=3	別part間のtie constraint	\(-2.20 \times 10^{-3}\)	\(0.54\%\)

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7.4.1 Contour plot

• h0p1
• h1p1
• h2p1
• h3p1
• h0p2
• h1p2
• h2p2
• h3p2
• h0p3
• h1p3
• h2p3
• h3p3

7.5 端モーメント

変換断面tip deflection： \(-164 \times 10^{-6}\).

• p=1
• p=2
• p=3

\(h_z\)	\(u_y\) 先端	変換断面比
10	\(-62.5 \times 10^{-6}\)	\(62\%\)
5	\(-125 \times 10^{-6}\)	\(23.8\%\)
2.5	\(-156 \times 10^{-6}\)	\(5.06\%\)
1.25	\(-163 \times 10^{-6}\)	\(1.14\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端	変換断面比
10	\(-164 \times 10^{-6}\)	\(0.00291\%\)
5	\(-164 \times 10^{-6}\)	\(0.00157\%\)
2.5	\(-164 \times 10^{-6}\)	\(0.0014\%\)
1.25	\(-164 \times 10^{-6}\)	\(0.00122\%\)

\(h_z\)	\(u_y\) 先端	変換断面比
10	\(-164 \times 10^{-6}\)	\(0.00136\%\)
5	\(-164 \times 10^{-6}\)	\(0.00152\%\)
2.5	\(-164 \times 10^{-6}\)	\(0.00155\%\)
1.25	\(-164 \times 10^{-6}\)	\(0.00134\%\)

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7.5.1 Contour plot

• h0p1
• h1p1
• h2p1
• h3p1
• h0p2
• h1p2
• h2p2
• h3p2
• h0p3
• h1p3
• h2p3
• h3p3

8 性能

各immersed IGA解析の2段階についてperformanceを分けて報告します。 trimming （immersing grid 上で trimmed U-spline basis を構築する処理）と Abaqus solve。各load caseは同じmesh sweepを使用しますが、各studyを独立に実行したためtimingはload caseごとに報告します。

9 考察

すべてのload caseはmesh refinementに伴って収束し、細かいmeshではtip deflectionがacceptance tolerance内に入り、profile比較も変換断面の閉形式解へ近づきます。二材料discretizationはmaterial interfaceにおける曲げ応力の不連続をsmearingせず捉える必要があり、そのジャンプも再現されます。変換断面modelに対する誤差はrefinement後も一定値へ収束しますが、これはdiscretization errorではなくbeam theory自身のmodeling error（shear deformationを無視し、固定end faceが理想化supportより剛いこと）です。そのためline-probe convergenceはclosed formをtruthとせず、同一degreeの最細profileに対するself-convergenceで評価します。merged-partとtie-constraintのinterface workflowが同じsolutionへ収束することは、tie constraintがshared-node discretizationと整合的にinterface tractionを伝達することを検証します。gravityとbody-force caseはpointwiseに同一のforce-density fieldを持つため、probe結果はsolver roundoffの範囲で一致する必要があり、これにより GRAV をdensity-weighted IGA body-force componentへ変換する処理を直接検証します。pressure caseも同じ一様分布荷重の閉形式familyに属しますが、load magnitudeは独立に指定されています。